% XeLaTeX can use any Mac OS X font. See the setromanfont command below.
% Input to XeLaTeX is full Unicode, so Unicode characters can be typed directly into the source.

% The next lines tell TeXShop to typeset with xelatex, and to open and save the source with Unicode encoding.

%!TEX TS-program = xelatex
%!TEX encoding = UTF-8 Unicode

\documentclass{article}
\usepackage[margin=6mm]{geometry}                % See geometry.pdf to learn the layout options. There are lots.
\geometry{a5paper}                   % ... or a4paper or a5paper or ... 
%\geometry{landscape}                % Activate for for rotated page geometry
%\usepackage[parfill]{parskip}    % Activate to begin paragraphs with an empty line rather than an indent
% Will Robertson's fontspec.sty can be used to simplify font choices.
% To experiment, open /Applications/Font Book to examine the fonts provided on Mac OS X,
% and change "Hoefler Text" to any of these choices.
\usepackage{amssymb}
\usepackage{fontspec,xltxtra,xunicode}
\usepackage{unicode-math}
\defaultfontfeatures{Mapping=tex-text}
\newfontfamily\cyrillicfont{PT Serif}
\setromanfont[Mapping=tex-text]{PT Serif}
\setmathfont[Scale=MatchLowercase]{xits-math.otf}
\setsansfont[Scale=MatchLowercase,Mapping=tex-text]{PT Sans}
\setmonofont[Scale=MatchLowercase]{Andale Mono}
\usepackage{polyglossia}
\usepackage{wrapfig}
\setdefaultlanguage{russian}
\usepackage{graphicx}
\newcounter{zadacha}
\setcounter{zadacha}{5}
\newcommand{\z}[1]{\par\refstepcounter{zadacha}%
\textbf{\thezadacha.}\ {#1}%
\expandafter\long\expandafter\gdef\csname
zad\arabic{zadacha}\endcsname{#1}%
}




\begin{document}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.1}\normalsize
\z Шесть машин едут по дороге из города А в город Б. В данный момент они находятся в разных точках дороги, но известно, что суммарное расстояние, которое проехали (считая от А) все машины~--- $75$~километров, а до Б осталось им ехать (тоже в сумме) $45$~километров. Какова длина дороги из А в Б?

\z В Париже в течение долгого времени хранился эталон метра (пока метр не стали определять через длину световых волн, а потом через скорость света и единицы времени), однако эталона градуса там никогда не было. Как вы думаете, почему?

%\z Имеется деревянный угольник с углом в $13^{\circ}$. Как построить с его помощью угол в $1^{\circ}$?

%\begin{wrapfigure}[6]{r}{0mm}
%\vbox to 0mm{\vskip -6mm \hbox{\includegraphics[width=2cm]{newpic-543.pdf}}\vss}%
%\end{wrapfigure}
%\z Кусок бумаги с прямым краем перегнули по прямой и сплющили (см. рисунок). Как найти угол $\beta$, зная угол $\alpha$?

%\z Трёхзвенный шарнир состоит из звеньев длиной $3$, $6$ и $10$~см. Какое расстояние (минимальное и максимальное) может быть между его концами? Другими словами, каково может быть расстояние между точками $A$ и $D$, если $AB=2$, $BC=6$ и $CD=10$?

%6. Может ли прямая пересекать все стороны $10$-угольника? Может ли прямая пересекать все стороны $15$-угольника?

%7. По одну сторону от прямой расположены две точки $A$ и $B$ на разных расстояниях от неё. Как найти на прямой точку $X$, для которой разность между расстояниями до этих двух точек максимальна?

\begin{wrapfigure}[6]{r}{0mm}
\vbox to 0mm{\vskip -3mm \hbox{\includegraphics[width=2cm]{pic-44.pdf}}\vss}%
\end{wrapfigure}
\z Разрежьте квадрат на рисунке на четыре равные (по форме и величине) части, проведя линию разреза по сторонам клеток; в каждую часть должно попасть по одной заштрихованной клетке.

%\begin{wrapfigure}[3]{r}{0mm}
%\vbox to 0mm{\vskip -12mm \hbox{\includegraphics[width=2cm]{pic-52.pdf}}\vss}%
%\end{wrapfigure}
%9. Проведите на рисунке прямую, которая разделит на две равные части и квадрат, и круг.

%10. Точка $X$ лежит внутри трёх окружностей радиуса $1$. Докажите, что их центры можно накрыть кругом радиуса $1$.

\z Даны две (различные) точки $A$ и $B$. Нарисуйте, где может находиться точка $C$, если известно, что треугольник $ABC$ равнобедренный (имеет две равные
стороны). (Будьте внимательны и не пропустите каких-либо вариантов расположения!)

%\z Какие значения может принимать (в каких пределах может меняться) наибольший угол треугольника? наименьший угол треугольника? третий (средний по величине) угол треугольника?

%\z Вася утверждает, что разрезал тупоугольный треугольник на несколько остроугольных. Петя говорит, что так не бывает. Прав ли он?

\begin{wrapfigure}[3]{r}{0mm}
\vbox to 0mm{\vskip -6mm \hbox{\includegraphics[width=1.6cm]{newpic-148.pdf}}\vss}%
\end{wrapfigure}
\z Дан прямой угол. Из произвольной точки $X$ внутри этого угла опускают перпендикуляры $XP$ и $XQ$ на стороны этого угла. Где находятся точки $X$, для которых расстояние между точками $P$ и $Q$ меньше~$1$?

\begin{wrapfigure}[4]{r}{0mm}
\vbox to 0mm{\vskip -2mm \hbox{\includegraphics[width=2cm]{newpic-151.pdf}}\vss}%
\end{wrapfigure}
\z Два угла квадрата со стороной $a$ выступают за пределы полосы ширины $a$ с параллельными краями. Стороны квадрата пересекают края полосы в четырёх точках. Докажите, что диагонали четырёхугольника, вершинами которого являются эти точки, пересекаются под углом в $45^\circ$.

\begin{wrapfigure}[9]{r}{0mm}
\vbox to 0mm{\vskip -6mm \hbox{\includegraphics[width=36mm]{penrose.pdf}}\vss}%
\end{wrapfigure}
\z Замощение Пенроуза (названное в честь Роджера Пенроуза, предложившего его в 1970-е годы) покрывает плоскость ромбами двух типов, как показано на рисунке. Каковы углы этих ромбов?
 
\z Раскрасьте вершины клеток на клетчатой бумаге в пять цветов таким образом, чтобы узлы каждого цвета сами образовывали квадратную сетку, причём все пять сеток имели одинаковый размер клетки. (Непокрашенных вершин не должно быть.)

 \z Дан треугольник $ABC$ и точка $O$ внутри него. Мы хотим найти отрезок с серединой в точке $O$, концы которого лежат на границе треугольника $ABC$. Какое максимальное количество решений может иметь эта задача?
 
 
\begin{wrapfigure}[4]{r}{0mm}
\vbox to 0mm{\vskip -5mm \hbox{\includegraphics[width=2cm]{newpic-411.pdf}}\vss}%
\end{wrapfigure}
\z Каждая из сторон четырёхугольника $ABCD$ поделена на три равные
части, и точки деления соединены отрезками (см. рисунок).  Покажите, что каждый
из этих отрезков делится другими также на три равные части. 

%\z Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. На его противоположных сторонах $AB$ и $CD$ берут точки  $P$ и $Q$ и затем отмечают середину отрезка $P\,Q$. Укажите, какие точки будут отмечены, если $P$ и $Q$ выбирать  всеми возможными способами. (Покажите на рисунке, где может оказаться эта середина, а где нет.)

%\z Луч входит в угол в $13^\circ$ с зеркальными стенками, и далее отражается от них по закону <<угол падения равен углу отражения>>. Может ли он там застрять (отражаться бесконечно много раз, так и не выйдя)? Если нет, то какое максимальное число отражений возможно?

\clearpage

%\begin{wrapfigure}[4]{r}{0mm}
%\vbox to 0mm{\vskip -10mm \hbox{\includegraphics[width=2cm]{newpic-470.pdf}}\vss}%
%\end{wrapfigure}
%22. Флажок имеет показанную на рисунке форму и вешается на гвоздик за середину привязанной к нему верёвки; верхний край флажка горизонтален. Нарисуйте, в какую часть стены нужно вбивать гвоздик, чтобы флажок закрыл пятно на стене. (Пятно считайте точкой.)

%\z Имеются два круглых забора, огораживающих непересекающиесякруглые участки. Где находятся точки, из которых один из заборов  не виден (то есть второй его полностью заслоняет)? Сделайте рисунок.

\begin{wrapfigure}[5]{r}{0mm}
\vbox to 0mm{\vskip -0mm \hbox{\includegraphics[width=2cm]{newpic-236.pdf}}\vss}%
\end{wrapfigure}
\z Несколько окружностей имеют общую точку и касаются друг друга в этой точке. Докажите, что можно провести отрезок, который пересекает все эти окружности в разных точках, но под одним и тем же углом (см.~рисунок).

\z Биссектрисы всех четырёх углов выпуклого четырёхугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и $d$ (перечисленными в порядке обхода по часовой стрелке) пересекаются в одной точке. Докажите, что $a+c=b+d$.

%\z В четырёхугольнике $ABCD$ два противоположных угла $B$ и $D$ прямые. Докажите, что $\angle DAC=\angle DBC$.

%\z Пятиугольник со сторонами $a,b,c,d,e$ (перечисленными по часовой стрелке) вписан в окружность некоторого радиуса. Докажите, что можно построить пятиугольник со сторонами $a,d,c,b,e$ (также по часовой стрелке), вписанный в окружность того же радиуса. 

\begin{wrapfigure}[5]{r}{0mm}
\vbox to 0mm{\vskip -2mm \hbox{\includegraphics[width=1.8cm]{newpic-542.pdf}}\vss}%
\end{wrapfigure}
\z Четырёхугольник вписан в квадрат (на каждой стороне квадрата лежит по вершине четырёхугольника). Оказалось, что четыре получившихся при этом треугольника имеют равные площади. Докажите, что эти треугольники равны.


\z Рассказывают, что на каком-то тесте по математике была дана задача: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $10$, а опущенная на неё высота равна $6$. Чему равна площадь треугольника? Легенда гласит, что хорошие ученики получили за этот пункт теста мало очков, а плохие~--- много. Как вы думаете, почему такое могло случиться?

\begin{wrapfigure}[7]{r}{0mm}
\vbox to 0mm{\vskip -6mm \hbox{\includegraphics[width=3cm]{newpic-492.pdf}}\vss}%
\end{wrapfigure}
\z Найдите отношение сторон прямоугольника, разрезанного на квадраты, как показано на рисунке.

\z Могут ли три высоты треугольника иметь длины $1/2$, $1/3$ и $1/6$?

%\z Две высоты треугольника (опущенные из вершин на противоположные стороны или их продолжения) равны $2$ и $3$. Чему может быть равна третья высота?

\z Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника со сторонами $a,b,c,d$ (перечислены по часовой стрелке) не превосходит $(ac+bd)/2$, и равенство возможно только для четырёхугольников, вписанных в окружность.

\z Имеются квадратные плитки двух разных размеров~--- большие и маленькие.  Замостите ими плоскость без пропусков и перекрытий, причём так, чтобы у каждой большой плитки было четыре маленьких соседа, а у каждой маленькой плитки~--- четыре больших.


\z Покажите, что плоскость (бесконечную во все стороны) можно замостить без пробелов и перекрытий квадратами, причём так, что среди квадратов не будет двух равных.

%\z Муравей ползёт по прямой на некоторое расстояние, поворачивает на какой-то угол, снова проползает по прямой такое же расстояние, поворачивает на тот же угол (в ту же сторону), и так много раз. Докажите, что все точки поворота муравья лежат на одной окружности.

\begin{wrapfigure}[8]{r}{0mm}
\vbox to 0mm{\vskip -2mm \hbox{\includegraphics[width=2cm]{newpic-541.pdf}}\vss}%
\end{wrapfigure}
\z Шестиугольник с прямыми углами разрезан на два шестиугольника той же формы, но меньшего размера (с пропорционально уменьшенными сторонами). Найдите стороны исходного шестиугольника (приняв наибольшую из них за единицу).

\end{document}
